已知函数 f(x)=(a- 1 2 ) x 2 +lnx(a∈R) ．
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（I）当a=1时， f(x)=
1
2 x 2 +lnx(x＞0) ，
f′(x)=x+
1
x
可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，
最小值为 f(1)=
1
2 ，
要使∃x 0∈[1，e]使不等式f（x 0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，
故实数m的取值范围是 [
1
2 ，+∞)
（2）已知函数 f(x)=(a-
1
2 ) x 2 +lnx(a∈R) ．
若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，
等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，
即 (a-
1
2 ) x 2 +lnx-2ax＜0 恒成立．
设 g(x)=(a-
1
2 ) x 2 +lnx-2ax(x∈(1，+∞)) ．
即g（x）的最大值小于0. g′(x)=(x-1)(2a-1-
1
x )
（1）当 a≤
1
2 时， g′(x)=(x-1)(2a-1-
1
x )＜0 ，
∴ g(x)=(a-
1
2 ) x 2 +lnx-2ax(x∈(1，+∞)) 为减函数．
∴g（1）=-a-
1
2 ≤0
∴a≥-
1
2
∴
1
2 ≥a≥-
1
2
（2）a≥1时， g′(x)=(x-1)(2a-1-
1
x )＞0 ．
g(x)=(a-
1
2 ) x 2 +lnx-2ax(x∈(1，+∞)) 为增函数，
g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．
（3）当
1
2 ＜a＜1 时，g（x）在 (1，
1
2a-1 ) 上为减函数，在 (
1
2a-1 ，+∞) 上为增函数，
同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是 [-
1
2 ，
1
2 ] ．
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