已知函数f(x)=lnx+[a/x+1]-[a/2](a∈R)
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解题思路:(1)把a=1代入函数解析式,求出导函数得到f′(1),再求出f(1)的值,利用直线方程的点斜式得切线方程;

(2)由原函数的导函数在(0,+∞)上大于等于0恒成立得到

a≤x+

1

x

+2

对x∈(0,+∞)上恒成立,然后利用基本不等式求得不等式右边的最小值,则a的范围可求;

(3)利用分析法把要证明的不等式转化为证明

x

1

x

2

−1<(

x

1

x

2

+1)ln

x

1

x

2

,令

x

1

x

2

=t (t>1)

换元后引入辅助函数h(t)=(t+1)lnt-t+1(t>1),然后利用导数证明.

(1)当a=2时,f(x)=lnx+[2/x+1−1,

f′(x)=

1

x−

2

(x+1)2] (x>0),

∴k=f′(1)=

1

2.

由f(1)=0,

∴求函数f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0;

(2)∵f(x)=lnx+[a/x+1]-[a/2],

∴f′(x)=

1

x−

a

(x+1)2=

(x+1)2−ax

x(x+1)2 (x>0).

由题意得(x+1)2-ax≥0对x∈(0,+∞)上恒成立,

∴a≤x+

1

x+2对x∈(0,+∞)上恒成立,

∴a≤(x+

1

x+2)min,

∵x+

1

x+2≥2

x•

1

x+2=4 (当且仅当x=1时取等号),

∴a≤4;

(3)证明:∵x1>x2>0,

∴lnx1-lnx2>0.

要证

x1−x2

lnx1−lnx2<x1+x2,

只要证x1-x2<(x1+x2)(lnx1-lnx2),

即证x1−x2<(x1+x2)ln

x1

x2,

也就是证

x1

x2−1<(

x1

x2+1)ln

点评:

本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.

考点点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的单调性.训练了利用换元法和构造函数法证明不等式,是压轴题.