解题思路：（1）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（2）由（1）知，当a=[1/3]时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．分别讨论f（x）和g（x）的最值之间的关系，即可求出b的取值范围．
解（1）∵f（x）=
a(x2+1)+x−1
x-lnx，
∴f′(x)＝a−
a−1
x2−
1
x＝
ax2−x−(a−1)
x2＝
(ax+a−1)(x−1)
x2．
①当[1−a/a＞1时，即0＜a＜
1
2]时，此时f（x）的单调性如下：
x （0，1） 1 （1，[1−a/a]） [1−a/a] （[1−a/a，+∞）
f′（x） + 0 _ 0 +
f（x） 增 减 增当0＜a＜
1
2]时，f（x）在（0，1），（[1−a/a，+∞）上是增函数，在（1，
1−a
a]）上是减函数．
②当a=[1/2]时，f′（x）=
(x−1)2
2x2≥0，f（x）在（9，+∞）上是增函数．
综上，当a≤0时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜[1/2]时，f（x）在（0，1），（[1−a/a，+∞）上是增函数，
在（1，
1−a
a]）上是减函数
（2）由（1）知，当a=[1/3]时，f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，2）上是减函数．
于是x1∈（0，2）时，f（x1）∈（-∞，[2/3]]，从而存在x2∈[1，2]，使得g（x2）=
x22−2bx2+4≤[-f（x1）]min=−
2
3，
等价为[g（x）]min≤−
2
3，x∈[1，2]，
考察g（x）=x2-2bx+4=（x-b）2+4-b2，x∈[1，2]的最小值．
①当b≤1时，g（x）在[1，2]上递增，[g（x）]min=g（1）=5-2b≤−
2
3，解得b≥
17
6（舍去），
②当b≥2时，g（x）在[1，2]上递减，[g（x）]min=g（2）=8-4b≤−
2
3，解得b≥[13/6]成立．
③当1＜b＜2时，[g（x）]min=g（b）=4-b2≤−
2
3，无解．
综上b≥[13/6]．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用及导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．综合性较强，难度较大．
