解题思路：（1）先求导，再分离参数，继而求出结果；
（2）利用导数证明函数f（x）-g（x）的最小值大于等于0即可；
（3）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），则只需F（x）max＞0即可，分m≤0，m＞0两种情况讨论，m≤0时可判断函数的符号；m＞0时利用导数可得函数的最大值；
（1）函数g（x）=[α/x]+2lnx（α≠0，α∈R）在[[1/2]，+∞]上为增函数，
∴g′（x）=-[α
x2+
2/x]≥0在[[1/2]，+∞]上恒成立，
即α≤2x在[[1/2]，+∞]上恒成立，
∴α≤1，
∴α取值范围为（-∞，1]，
（2）由（1）知，当α最大时，α=1，g（ x）=[1/x]+2lnx，
设G（x）=f（x）-g（x）=mx-[m−1/x]-[1/x]-2lnx=mx-[m/x]-2lnx，
∴G′（x）=m+[m
x2-
2/x]=
mx2−2x+m
x2，
令G′（x）=0，解得x=
1±
1−m2
m，而1-m2≥0，
又m≥1，
∴m=1，
∴G′（x）=
(x−1)2
x2≥0恒成立，
∴G（x）在[1，+∞）单调递增，
∴G（x）min=G（1）=1-1-0=0，
∴f（x）-g（x）≥0
∴f（x）≥g（x）；
（3）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），
∴F（x）=mx-[m/x]-2lnx-[2e/x]，
当m≤0时，∵x∈[1，e]，mx-[m/x]≤0，-2lnx-[2e/x]＜0，
∴F（x）＜0，即在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立．
当m＞0时，F′（x）=
mx2−2x+m+2e
x2
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查对数函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程与不等式等基础知识，一般出题者喜欢考查学生的运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，要出学生会用数形结合的思想、分类与整合思想，化归与转化思想、有限与无限的思想来解决问题．
