解题思路：（1）求导得f′(x)＝mx2−2x+mx2，由y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，知关于x的不等式mx2-2x+m≥0在区间[1，+∞）上恒成立或关于x的不等式mx2-2x+m≤0在区间[1，+∞）上恒成立，分离参数后化为求函数的最值，利用基本不等式易求函数的最值；（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x），即F(x)＝mx−mx−2lnx−2ex．则只需F（x）max＞0即可，分m≤0，m＞0两种情况讨论，m≤0时可判断函数的符号；m＞0时利用导数可得函数的最大值；
（文）（1）f′(x)＝
mx2−2x+m
x2，
∵y=f（x）在区间[1，+∞）上是单调函数，
∴关于x的不等式mx2-2x+m≥0在区间[1，+∞）上恒成立或关于x的不等式mx2-2x+m≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
即关于x的不等式m≥
2x
1+x2在区间[1，+∞）上恒成立或关于x的不等式m≤
2x
1+x2在区间[1，+∞）上恒成立，
而[2x
1+x2＝
2
x+
1/x]，
∵x+
1
x在x∈[1，+∞）时的取值范围是[2，+∞），
∴[2x
1+x2＝
2
x+
1/x]在x∈[1，+∞）时的取值范围是（0，1]，
∴m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）；
（2）构造函数F（x）=f（x）-g（x），即F(x)＝mx−
m
x−2lnx−
2e
x．
当m≤0时，∵x∈[1，e]，mx-[m/x]≤0，-2ln-[2e/x]＜0，
∴F（x）＜0，即在[1，e]上不存在一个x0，使得f（x0）＞g（x0）成立．
当m＞0时，F′(x)＝
mx2−2x+m+2e
x2，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx2+m＞0，∴F'（x）＞0在x∈[1，e]时恒成立．
故F（x）F（x）在x∈[1，e]时单调递增，F(x)max＝F(e)＝me−
m
e−4，
只要me−
m
e−4＞0，解得m＞
4e
e2−1．
故m的取值范围是(
4e
e2−1，+∞)．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 该题考查利用导数研究函数的单调性、函数恒成立等知识，考查学生的运算求解能力、转化能力．
