已知函数 f(x)=mx- m-1 x -lnx(m∈R)，g(x)= 1 x +lnx ．
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（Ⅰ）由题意，x＞0，g′（x）=
x-1
x 2 ，
∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，
所以，g（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，故g（x） 极小值=g（1）=1．…（4分）
（Ⅱ）∵y=f（x）-g（x）= mx-
m
x -2lnx ，
∴y′=
m x 2 -2x+m
x 2 ，
由于f（x）-g（x）在[1，+∞）内为单调增函数，
所以mx 2-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，即m≥
2x
1+ x 2 在[1，+∞）上恒成立，
∵（
2x
1+ x 2 ） max=1，
∴m的取值范围是[1，+∞）． …（8分）
（III）当x=1时，f（1）-g（1）＜h（1）．
当x∈（1，e]时，由f（x）-g（x）＞h（x），得m＞
2e+2xlnx
x 2 -1 ，令G（x）=
2e+2xlnx
x 2 -1 ，
则G′（x）=
(-2 x 2 -2)lnx+(2 x 2 -4ex-2)
( x 2 -1 ) 2 ＜0，
所以G（x）在（1，e]上递减，G（x） min=G（e）=
4e
e 2 -1 ．
综上，要在[1，e]上存在一个x 0，使得f（x 0）-g（x 0）＞h（x 0）成立，必须且只需m＞
4e
e 2 -1 ．
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