已知函数 f(x)= 1 2 a x 2 +lnx ，其中a∈R．
1个回答
（1）由题意可得函数 f(x)=
1
2 a x 2 +lnx 的定义域为（0，+∞）
由求导公式可得： f′(x)=ax+
1
x =
a x 2 +1
x
当，f′（x）=
a x 2 +1
x ＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＜0时，令
a x 2 +1
x ＞0，可解得x＜
-
1
a ，即f（x）在（0，
-
1
a ）单调递增，
同理由
a x 2 +1
x ＜0，可解得x＞
-
1
a ，即f（x）在（
-
1
a ，+∞）单调递减．
（2）由（1）可知：若a≥0时，f（x）在（0，1]单调递增，
故函数在x=1处取到最大值f（1）=
1
2 a =-1，解得a=-2，与a≥0矛盾应舍去；
若0＜
-
1
a ≤1，即a≤-1，函数f（x）在（0，
-
1
a ）单调递增，在（
-
1
a ，+∞）单调递减．
故若
-
1
a ＞1，即-1＜a＜0时，f（x）在（0，1]单调递增，
故函数在x=1处取到最大值f（1）=
1
2 a =-1，解得a=-2，应舍去．
综上可得所求a的值为：-e
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