设函数f（x）=x（lnx+a）-ax2，其中a∈R．
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解题思路：（1）由原函数的解析式，我们易求出函数的导函数，进而根据导函数的零点对函数的定义域进行分段讨论后，即可得到答案．
（2）若f（x）≤0，即x（lnx+a）-ax2≤0，对a进行分类讨论后，综合即可得到答案．
（1）当a=0时，f（x）=xlnx
∴f'（x）=lnx+1，x∈（0，+∞）
又∵当x∈（0，[1/e]）时，f'（x）＜0，
当x∈（[1/e]，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，[1/e]）上单调递减，在（[1/e]，+∞）上单调递增，在x=[1/e]处取得极大值，且极大值为f（[1/e]）=-[1/e]
（2）当x≥1时，f（x）≤0⇔lnx+a-ax≤0．
令g（x）=lnx+a-ax，则g′(x)＝
1
x−a．
①当a≥1时，g'（x）≤0，故g（x）
在[1，+∞）是减函数，所以g（x）≤g（1）=0．
②当0＜a＜1时，令g'（x）=0，得x＝
1
a＞1．
∵当x∈(1，
1
a)时，g'（x）＞0，
故当x∈(1，
1
a)时，g（x）＞g（1）=0，与题意不符．
③当a≤0时，g'（x）＞0，故g（x）在[1，+∞）是增函数，从而当x∈（1，+∞）时，
有g（x）＞g（1）=0，与题意不符．综上所述，a的取值范围为[1，+∞）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的单调性与导数的关系．
考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，及函数的单调性与导数的关系，其中根据已知条件求出导函数是解答本题的关键．
