函数f（x）的定义域为（0，+∞）．…（1分）
（Ⅰ）由题意x＞0， f′(x)=
a
x -
1
x 2 ，…（2分）
（1）当a＞0时，
由 f′(x)=
a
x -
1
x 2 ＜0，
解得x＜
1
a ，函数f（x）的单调递减区间是（0，
1
a ）；
由 f′(x)=
a
x -
1
x 2 ＞0，
解得x＞
1
a ，函数f（x）的单调递增区间是（
1
a ，+∞）． …（4分）
（2）当a≤0时，
由于x＞0，所以 f′(x)=
a
x -
1
x 2 ＜0 恒成立，
函数f（x）的在区间（0，+∞）上单调递减．…（5分）
（Ⅱ）因为对于任意正实数x，不等式f（x）≥2a成立，即 2a≤alnx+
1
x 恒成立．
因为a＞0，由（Ⅰ）可知
当x=
1
a 时，函数 f(x)=alnx+
1
x 有最小值f（
1
a ）= aln
1
a +a =a-alna．…（7分）
所以2a≤a-alna，解得 0＜a≤
1
e ．
故所求实数a的取值范围是 (0，
1
e ] ．…（9分）
（Ⅲ）因为 f(
x 1 + x 2
2 )=aln
x 1 + x 2
2 +
2
x 1 + x 2 ，
f( x 1 )+f( x 2 )
2 =
1
2 (aln x 1 +
1
x 1 +aln x 2 +
1
x 2 ) =
1
2 [aln( x 1 x 2 )+
x 1 + x 2
x 1 x 2 ]=aln
x 1 x 2 +
x 1 + x 2
2 x 1 x 2 ．…（10分）
所以 f(
x 1 + x 2
2 )-
f( x 1 )+f( x 2 )
2 =aln
x 1 + x 2
2 +
2
x 1 + x 2 -aln
x 1 x 2 -
x 1 + x 2
2 x 1 x 2 = aln
x 1 + x 2
2
x 1 x 2 -
( x 1 - x 2 ) 2
2 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) ．
（1）显然，当x 1=x 2时， f(
x 1 + x 2
2 )=
f( x 1 )+f( x 2 )
2 ．…（11分）
（2）当x 1≠x 2时，因为x 1＞0，x 2＞0，且a＜0，
所以x 1+x 2＞2
x 1 • x 2 ，
所以
x 1 + x 2
2
x 1 • x 2 ＞1， a•ln
x 1 + x 2
2
x 1 • x 2 ＜0．…（12分）
又 -
( x 1 - x 2 ) 2
2 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) ＜0 ，所以 aln
x 1 + x 2
2
x 1 x 2 -
( x 1 - x 2 ) 2
2 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ) ＜0
所以f（
x 1 + x 2
2 ）-
f( x 1 )+f( x 2 )
2 ＜0，
即f（
x 1 + x 2
2 ）＜
f( x 1 )+f( x 2 )
2 ．
综上所述，当x 1=x 2时， f(
x 1 + x 2
2 )=
f( x 1 )+f( x 2 )
2 ；当x 1≠x 2时，f（
x 1 + x 2
2 ）＜
f( x 1 )+f( x 2 )
2 ．…（14分）
