已知函数 f(x)=alnx+ 1 x (a＞0) ．
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（I）依题意，x＞0，f′（x）=
a
x -
1
x 2
由f′（x）＞0得
a
x -
1
x 2 ＞0 ，解得x ＞
1
a ，函数f（x）的单调增区间为（
1
a ，+∞）
由f′（x）＜0得
a
x -
1
x 2 ＜0 ，解得x ＜
1
a ，函数f（x）的单调减区间为（0，
1
a ）
∴当x=
1
a 时，函数f（x）的极小值为f（
1
a ）=aln
1
a +a=a-alna
（II）设g（x）=ax（2-lnx）=2ax-axlnx，则函数定义域为（0，+∞）
g′（x）=2a-（ax•
1
x +alnx）=a（1-lnx）
由g′（x）=0，解得x=e，
由a＞0可知，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴函数g（x）的最大值为g（e）=ae（2-lne）=ae
要使不等式恒成立，只需g（x）的最大值不大于1即可，即g（e）≤1
也即ae≤1，解得 a≤
1
e
又∵a＞0
∴0＜a≤
1
e
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