设函数f（x）=ax-（a+1）ln（x+1），a∈R．
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解题思路：（I）利用函数f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，则得到f'（x）≥0恒成立．
（Ⅱ）当a=1时，求函数的导数，利用这两点为切点的切线互相垂直，得到两点的导数值之积为-1，然后求解切点坐标．
（I）要使函数f（x）在[2，+∞）上为单调增函数，则f'（x）≥0恒成立．
函数的导数为f'（x）=a-[a+1/x+1]=[ax+a−a−1/x+1＝
ax−1
x+1]，由f'（x）≥0得[ax−1/x+1≥0，因为x≥2，所以ax-1≥0，
ax≥1，即a≥
1
x]即可．因为函数y=[1/x]在[2，+∞）上为单调递减函数，所以y≤
1
2，所以要使a≥
1
x恒成立，则有a≥
1
2．
即满足条件的实数a的取值范围[[1/2，+∞）．
（Ⅱ）若a=1，则f（x）=x-2ln（x+1），f′(x)＝1−
2
x+1＝
x−1
x+1]．，设这两个切点分别为（x1，y1），（x2，y2），
f′（x1）f′（x2）=
x1−1
x1+1⋅
x2−1
x2+1＝−1，整理得x1x2=-1，即x2＝−
1
x1．
因为两切点的横坐标均在区间[-[1/2]，2]上．所以−
1
2≤x1≤2，−
1
2≤x2≤2，即−
1
2≤−
1
x1≤2．
①若x1＞0，则由不等式−
1
2≤−
1
x1≤2解得x1≥2，所以此时x1=2，x2＝−
1
2．
②若x1＜0，则由不等式−
1
2≤−
1
x1
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题的考点是利用导数研究函数的单调性，以及利用导数的几何意义求切点坐标，运算量较大，比较综合．
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