设a为实数，函数f（x）=x|x-a|，其中x∈R．
6个回答
解题思路：（1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶性，然后定义定义进行证明即可；
（2）讨论a的符号，然后去掉绝对值利用分段函数表示，分别求出函数的单调递增区间．
（1）当a=0时，f（x）=x|x|，所以f（x）为奇函数…（1分）
因为定义域为R关于原点对称，且f（-x）=-x|-x|=-f（x），所以f（x）为奇函数．…（3分）
当a≠0时，f（x）=x|x-a|为非奇非偶函数，…（4分）
f（a）=0，f（-a）=-a|2a|，所以f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a）
所以f（x）是非奇非偶函数．…（6分）
（2）当a=0时，f(x)=
x2x≥0
-x2x<0，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；…（8分）
当a>0时，f(x)=
x2-axx≥a
-x2+axx
f（x）的单调递增区间为(-∞，
a
2)和（a，+∞）；…（10分）
f（x）的单调递减区间为(
a
2，a)；…（12分）
当a<0时，f(x)=
x2-axx≥a
-x2+axx
f（x）的单调递增区间为（-∞，a）和(
a
2，+∞)；…（14分）
f（x）的单调递减区间为(a，
a
2)…（16分）
点评：
本题考点： 函数奇偶性的判断；函数的单调性及单调区间．
考点点评： 本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及函数的单调性的判定，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．
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