解题思路：（1）先求出导数
f′(x)＝2ax+
1
x
，根据导数的几何意义得出f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为
k＝2ae+
1
e
，从而写出切线方程得出切线恒过定点；
（2）先令
p(x)＝f(x)−
f
2
(x)＝(a−
1
2
)
x
2
−2ax+lnx
＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
利用导数求出p（x）在区间（1，+∞）上是减函数，从而得出：要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足
p(1)＝−a−
1
2
≤0
，由此解得a的范围即可．
（3）当
a＝
2
3
时，
f
1
(x)＝
1
6
x
2
+
4
3
x+
5
9
lnx，
f
2
(x)＝
1
2
x
2
+
4
3
x
．
记
y＝
f
2
(x)−
f
1
(x)＝
1
3
x
2
−
5
9
lnx，x∈(1，+∞)
．利用导数研究它的单调性，得出y=f2（x）-f1（x）在（1，+∞）上为增函数，最后得到满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．
（1）因为f′(x)＝2ax+
1
x，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为k＝2ae+
1
e，
所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝(2ae+
1
e)(x−e)+ae2+1，
整理得y−
1
2＝(2ae+
1
e)(x−
e
2)，所以切线恒过定点(
e
2，
1
2)．
（2）令p(x)＝f(x)−f2(x)＝(a−
1
2)x2−2ax+lnx＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
因为p′(x)＝(2a−1)x−2a+
1
x＝
(2a−1)x2−2ax+1
x＝
(x−1)[(2a−1)x−1]
x（*）
令p'（x）=0，得极值点x1=1，x2＝
1
2a−1，
①当[1/2＜a＜1时，有x2＞x1=1，即
1
2＜a＜1时，在（x2，+∞）上有p'（x）＞0，
此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；
②当a≥1时，有x2＜x1=1，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；
③当a≤
1
2]时，有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p'（x）＜0，
从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足p(1)＝−a−
1
2≤0⇒a≥−
1
2，
所以−
1
2≤a≤
1
2．
综上可知a的范围是[−
1
2，
1
2]．
（3）当a＝
2
3时，f1(x)＝
1
6x2+
4
3x+
5
9lnx，f2(x)＝
1
2x2+
4
3x
记y＝f2(x)−f1(x)＝
1
3x2−
5
9lnx，x∈(1，+∞)．
因为y′＝
2x
3−
5
9x＝
6x2−5
9x＞0，所以y=f2（x）-f1（x）在（1，+∞）上为增函数，
所以f2(x)−f1(x)＞f2(1)−f1(1)＝
1
3，设R(x)＝f1(x)+
1
3λ，(0＜λ＜1)，则f1（x）＜R（x）＜f2（x），
所以在区间（1，+∞）上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x）恒成立的函数g（x）有无穷多个．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导函数的正负与原函数的单调性之间的关系等，注意应用导数的性质：当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．
