如图,过正方形ABCD的一个顶点B的一条直线交DA,DC的延长线分别于E,F,CE,AF交于H,分别交正方形的边于P,Q
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(1)由图可见三角形APE相似于三角形BPC,因此AP/PB=AE/BC；三角形ABQ相似于三角形FCQ,因此BQ/CQ=AB/CF.因为ABCD为正方形,因此AE/BC=AE/AB,AB/CF=BC/CF,而三角形AEB相似于三角形CBF,则AE/AB=BC/CF,即AP/PB=BQ/CQ,再由于AP+PB=BQ+CQ=AB=BC,可知AP=BQ.
(2)设AB/AE=CF/BC=R,正方形ABCD边长为a,则AE=a/R,CF=Ra,BQ=AP=a/(R+1),CQ=PB=Ra/(R+1),则过H做HG垂直AD交AD于G,由三角形APH与三角形FCH相似,可知AH/HF=AP/CF=1/R(R+1),即AG/GD=AH/HF=1/R(R+1),GD=R(R+1)a/(R^2+R+1),HG/DF=AH/AF=1/(R^2+R+1),而DF=CD+CF=(R+1)a,因此HG=(R+1)a/(R^2+R+1).由上可得HG/GD=[(R+1)a/(R^2+R+1)]/[R(R+1)a/(R^2+R+1)]=1/R=AE/AB=BC/CF=DE/DF,又因为三角形HGD和三角形EDF都为直角三角形,因此三角形HGD相似于三角形EDF,角EDH=角EFD,因此DH垂直于EF.
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