解题思路：（1）利用数学归纳法的证题步骤分当n=1时证明等式成立，假设当n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可；
（2）当n=1时，证明左边[1/1×3]与右边[1/2×1+1]相等，假设n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可．
证明：（1）①当n=1时，左边=3×1-2=1，右边[1/2]×1（3×1-1）=1，左边=右边，等式成立；
②假设当n=k时等式成立，即1+4+7+…+（3k-2）=[1/2]k（3k-1），
则当n=k+1时，
1+4+7+…+（3k-2）+[3（k+1）-2]
=[1/2]k（3k-1）+[3（k+1）-2]
=[1/2]（3k2+5k+2）
=[1/2]（k+1）（3k+2）
=[1/2]（k+1）[3（k+1）-1]，
即n=k+1时，等式也成立；
综合①②知，对任意n∈N*，等式成立．
（2）证明：①当n=1时，证明左边=[1/1×3]，右边=[1/2×1+1]，左边=右边，等式成立；
②假设当n=k时等式成立，即[1/1×3]+[1/3×5]+…+[1
(2k−1)(2k+1)=
k/2k+1]，
则当n=k+1时，
[1/1×3]+[1/3×5]+…+[1
(2k−1)(2k+1)+
1
[2(k+1)−1][2(k+1)+1]
=
k/2k+1]+[1
[2(k+1)−1][2(k+1)+1]
=
k(2k+3)+1
[2(k+1)−1][2(k+1)+1]
=
(k+1)(2k+1)
[2(k+1)−1][2(k+1)+1]
=
k+1/2k+3]
=[k+1
[2(k+1)+1]，
即当n=k+1时，等式也成立；
综上知，对任意n∈N*，等式
1/1×3]+[1/3×5]+…+[1
(2n−1)(2n+1)=
n/2n+1]恒成立．
点评：
本题考点： 数学归纳法．
考点点评： 本题考查数学归纳法，着重考查利用数学归纳法证明问题，考查推理与逻辑思维能力，属于中档题．
