（2011•顺义区二模）设函数f(x)＝ax3−b2x2+c，其图象过点（0，1）．
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解题思路：（1）先求函数f（x）的导函数f′（x），依题意f（0）=1，方程f′（x）-x+1=0的两个根分别为是[1/2]，1，列方程求解即可得a、b、c的值
（2）先求函数f（x）的导函数f′（x）=
2x(x−
b
2
)
，研究函数的单调性需要讨论b的正负，故分b＞0和b＜0两种情况分别讨论函数的单调性和极值即可
由题意可知，f（0）=1所以c=1
（1）由f(x)＝ax3−
b
2x2+1，得f′（x）=3ax2-bx．
因为f′（x）-x+1=0，即3ax2-bx-x+1=0的两个根分别为[1/2，1
所以
3a×
1
4−
b
2−
1
2+1＝0
3a−b−1+1＝0]
解得
a＝
2
3
b＝2
故f(x)＝
2
3x3−x2+1
（Ⅱ）f(x)＝
2
3x3−
b
2x2+c
所以，f′(x)＝2x2−bx＝2x(x−
b
2)
①若b＞0，则当x∈（-∞，0）时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增；
当x∈(0，
b
2)时，f′（x）＜0函数f（x）单调递减；
当x∈(
b
2，+∞)时，f′（x）＞0函数f（x）单调递增
因此，f（x）的极大值为f（0）=c=1，f（x）的极小值为f(
b
2)＝1−
b3
24
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；根与系数的关系．
考点点评： 本题考察了导数在函数单调性和极值中的应用，分类讨论的思想方法
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