（2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2）

（2012•威海）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y=x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y=x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为点F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PM⊥x轴，垂足为点M，△PCM为等边三角形．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）求点P的坐标；

（3）试判断CE与EF是否相等，并说明理由；

（4）连接PE，在x轴上点M的右侧是否存在一点N，使△CMN与△CPE全等？若存在，试求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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解题思路：（1）根据抛物线的顶点是（2，1），因而设抛物线的表达式为y=a（x-2）2+1，把A的坐标代入即可求得函数的解析式；

（2）根据△PCM为等边三角形，则△CGM中，∠CMD=30°，CG的长度可以求得，利用直角三角形的性质，即可求得CM，即等边△CMP的边长，则P的纵坐标，代入二次函数的解析式，即可求得P的坐标；

（3）解方程组即可求得E的坐标，则EF的长等于E的纵坐标，OE的长度，利用勾股定理可以求得，同理，OC的长度可以求得，则CE的长度即可求解；

（4）可以利用反证法，假设x轴上存在一点，使△CMN≌△CPE，可以证得EN=EF，即N与F重合，与点E为直线y=x上的点，∠CEF=45°即点N与点F不重合相矛盾，故N不存在．

（1）设抛物线的表达式为y=a（x-2）2+1，将点A（0，2）代入，得

a（0-2）2+1=2…1分

解这个方程，得a=[1/4]

∴抛物线的表达式为y=[1/4]（x-2）2+1=[1/4]x2-x+2；…2分

（2）将x=2代入y=x，得y=2

∴点C的坐标为（2，2）即CG=2…3分

∵△PCM为等边三角形

∴∠CMP=60°，CM=PM

∵PM⊥x轴，

∴∠CMG=30°

∴CM=4，GM=2

3．

∴OM=2+2

3，PM=4…4分

将y=4代入y=[1/4]（x-2）2+1，得4=[1/4]（x-2）2+1

解这个方程，得x1=2+2

3=OM，x2=2-2

3＜0（不合题意，舍去）．

∴点P的坐标为（2+2

3，4）…5分

（3）相等…6分

把y=x代入y=[1/4]x2-x+2，得x=[1/4]x2-x+2

解这个方程，得x1=4+2

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及等边三角形的性质，解直角三角形，反证法，正确求得E的坐标是关键．

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