解题思路：（1）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（2）由已知中函数f（x）=x2-8lnx，g（x）=-x2+14x的解析式，我们易求出他们导函数的解析式，进而求出导函数大于0的区间，构造关于a的不等式，即可得到实数a的取值范围；
（3）若方程f（x）=g（x）+m有唯一解，则函数h（x）=f（x）-g（x）=2x2-8lnx-14x与y=m的图象有且只有一个交点，求出h'（x）后，易求出函数的最值，分析函数的性质后，即可得到满足条件的实数m的值．
（1）因为f′（x）=2x-[8/x]，所以切线的斜率k=f′（x）=-6
又f（1）=1，故所求切线方程为y-1=-6（x-1）即y=-6x+7．
（2）f′(x)＝2x−
8
x＝
2(x+2)(x−2)
x（x＞0）
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时，f'（x）＞0，
要使f（x）在（a，a+1）上递增，必须a≥2g（x）=-x2+14x=-（x-7）2+49
如使g（x）在（a，a+1）上递增，必须a+1≤7，即a≤6
由上得出，当2≤a≤6时f（x），g（x）在（a，a+1）上均为增函数
（3）方程f（x）=g（x）+m有唯一解 ⇔
y＝m
y＝2x2−8lnx−14x有唯一解
设h（x）=2x2-8lnx-14x
h′(x)＝4x−
8
x−14＝
2
x(2x+1)(x−4)（x＞0）h'（x），h（x）随x变化如下表
x （0，4） 4 （4，+∞）
h'（x） - 0 +
h（x） ↘ 极小值-24-16ln2 ↗由于在（0，+∞）上，h（x）只有一个极小值，
∴h（x）的最小值为-24-16ln2，
当m=-24-16ln2时，方程f（x）=g（x）+m有唯一解．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．
