(2014•烟台一模)已知函数f(x)=lnx+ax+a+1x−1.
1个回答

解题思路:(1)当a=1时,直接求出f′(x)从而确定f(2)和f′(2),利用点斜式方程即可求出切线方程;

(2)分情况讨论a=0,

1

2

<a<0

a=−

1

2

三种情况下f′(x)的正负,即可确定f(x)的单调性.

(1)当a=1时,f(x)=lnx+x+

2

x−1,

此时f′(x)=

1

x+1−

2

x2

f′(2)=

1

2+1−

2

4=1,

又f(2)=ln2+2+

2

2−1=ln2+2,

∴切线方程为:y-(ln2+2)=x-2,

整理得:x-y+ln2=0;

(2)f′(x)=

1

x+a−

1+a

x2=

ax2+x−a−1

x2=

(ax+a+1)(x−1)

x2,

当a=0时,f′(x)=

x−1

x2,

此时,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,

当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;

当−

1

2≤a<0时,f′(x)=

a(x+

1+a

a)(x−1)

x2,

当−

1+a

a=1,即a=−

1

2时,

f′(x)=−

(x−1)2

2x2≤0在(0,+∞)恒成立,

∴f(x)在(0,+∞)单调递减;

当−

1

2<a<0时,−

1+a

a>1,

此时在(0,1),(−

1+a

a,+∞),f′(x)<0,f(x)单调递减,

f(x)在(1,

1−a

a),f′(x)>0单调递增;

综上所述:

当a=0时,f(x)在(0,1)单调递减,f(x)在(1,+∞)单调递增;

当−

1

2<a<0时,f(x)在(0,1),(

1−a

a,+∞)单调递减,f(x)在

点评:

本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.

考点点评: 本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法,考查导数在研究函数单调性中的作用,以及分类讨论的数学思想,属于中档题.