（2014•烟台一模）已知函数f(x)＝lnx+ax+a+1x−1．
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解题思路：（1）当a=1时，直接求出f′（x）从而确定f（2）和f′（2），利用点斜式方程即可求出切线方程；
（2）分情况讨论a=0，
−
1
2
＜a＜0
，
a＝−
1
2
三种情况下f′（x）的正负，即可确定f（x）的单调性．
（1）当a=1时，f(x)＝lnx+x+
2
x−1，
此时f′(x)＝
1
x+1−
2
x2
f′(2)＝
1
2+1−
2
4＝1，
又f(2)＝ln2+2+
2
2−1＝ln2+2，
∴切线方程为：y-（ln2+2）=x-2，
整理得：x-y+ln2=0；
（2）f′(x)＝
1
x+a−
1+a
x2＝
ax2+x−a−1
x2＝
(ax+a+1)(x−1)
x2，
当a=0时，f′(x)＝
x−1
x2，
此时，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当−
1
2≤a＜0时，f′(x)＝
a(x+
1+a
a)(x−1)
x2，
当−
1+a
a＝1，即a＝−
1
2时，
f′(x)＝−
(x−1)2
2x2≤0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）单调递减；
当−
1
2＜a＜0时，−
1+a
a＞1，
此时在（0，1），(−
1+a
a，+∞)，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
f（x）在(1，
1−a
a)，f′（x）＞0单调递增；
综上所述：
当a=0时，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）在（1，+∞）单调递增；
当−
1
2＜a＜0时，f（x）在(0，1)，(
1−a
a，+∞)单调递减，f（x）在
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查导数在研究函数单调性中的作用，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．
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