（2014•济宁二模）已知函数f（x）=[a/x] - 已解决

（2014•济宁二模）已知函数f（x）=[a/x]+lnx（a∈R）．

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解题思路：（1）先求出f′（x）=[x−a

，x＞0，再讨论①a≤0时，②a＞0时的情况，从而求出函数的最小值；

（2）a=2时，由（1）得f（x）≥ln2+1，从而lnx≥ln2+1-

2/x]=ln（2e）-[2/x]（*），分别令x=[2/1]，[3/2]…，[n+1/n]代入（*）得下列n个不等式，得ln[2/1]++ln[3/2]+…+ln[n+1/n]＞nln（2e）-2（[1/2]+2×[2/3]+…+2×[n/n+1]），进而证明ln（n+1）+2

i＝1

[i/i+1]＞nln（2e）．

（1）∵f′（x）=[x−a

x2，x＞0，

①a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上递增，

∴f（x）无最值，

②a＞0时，

令f′（x）＞0，解得：x＞a，

令f′x）＜0，解得：0＜x＜a，

∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

∴f（x）_min=f（a）=lna+1，

综上，a≤0时，f（x）无最值，a＞0时，f（x）_min=f（a）=lna+1，

（2）a=2时，由（1）得f（x）≥ln2+1，

即

2/x]+lnx≥ln2+1，从而lnx≥ln2+1-[2/x]=ln（2e）-[2/x]（*），

∴分别令x=[2/1]，[3/2]…，[n+1/n]代入（*）得下列n个不等式，

ln[2/1]＞ln（2e）-[2

2/1]=ln（2e）-2×[1/2]，

ln[3/2]＞ln（2e）-[2

3/2]=ln（2e）-2×[2/3]，

…，

ln[n+1/n]＞ln（2e）-（2×[n/n+1]），

将所述n个不等式相加得：

ln[2/1]++ln[3/2]+…+ln[n+1/n]＞nln（2e）-2（[1/2]+2×[2/3]+…+2×[n/n+1]），

∴ln（n+1）＞nln（2e）-2（[1/2]+[2/3]+…+[n/n+1]），

即ln（n+1）+2

i＝1

点评：

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，不等式的证明，是一道综合题．

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