解题思路：（1）求出函数φ（x）=f（x）-g（x）的表达式，求函数的导数，利用在其定义域内是单调增函数，等价为φ′（x）≥0，解不等式即可求a的取值范围；
（2）求出函数的切线方程，集合条件建立方程关系即可得到结论．
（1）因为f（x）=lnx，g（x）=ax2+x，a∈R，
所以φ（x）=f（x）-g（x）=lnx+ax2+x，函数的定义域为（0，+∞），
要使φ（x）在其定义域内是单调增函数，
则φ′（x）≥0恒成立，
即ϕ′(x)＝
1
x−2ax−1＝−
2ax2+x−1
x≥0，（x＞0），
只需要2ax2+x-1≤0，即2a≤
1
x2−
1
x＝(
1
x−
1
2)2−
1
4，
所以a≤−
1
8．
（2）因为ϕ′(x)＝
1
x−2ax−1．
所以切线l的方程为y＝(−4a−
1
2)(x−4)+ln2−4a−2．
令h(x)＝lnx−ax2−x−[(−4a−
1
2)(x−2)+ln2−4a−2]，
则h（2）=0.h′(x)＝
1
x−2ax+4a−
1
2＝−
2ax2−(4a−
1
2)−1
x．
若a=0，则h′(x)＝
2−x
2x，
当x∈（0，2）时，h′（x）＞0；
x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，
所以h（x）≤h（2）=0，c1，c2在直线同侧，l不合题意；
若a≠0，h′＝−
2a(x−2)(x+
1
4a)
x，
若a＝−
1
8，h′＝
(
x
2−1)2
x≥0，h（x）是单调增函数，
当x∈（2，+∞）时，h（x）＞h（2）=0；
当x∈（0，2）时，h（x）＜h（2）=0，符合题意；
若a＜−
1
8，当x∈(−
1
4a，2)时，h′（x）＜0，h′（x）＞h（2）=0，
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h′（x）＞h（2）=0，不合题意；
若−
1
8＜a＜0，当x∈(2，−
1
4a)时，h′（x）＜0，h（x）＜h（2）=0，
当x∈（0，2）时，h′（x）＞0，h（x）＜h（2）=0，不合题意；
若a＞0，当x∈（
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性．
考点点评： 本题主要考查导数的应用，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．
