解题思路：（1）由f′（x）=ex-1，得f′（0）=0，又f（0）=1，故切线方程为：y-1=f′（0）（x-0），即y-1=0．
（2）当F′（x）=ex-2ax-1在[0，2]上是增函数时，有F″（x）=ex-2a≥0在[0，2]上恒成立，即a≤
e
x
2
在[0，2]上恒成立，得a≤[1/2]．当F′（x）=ex-2ax-1在[0，2]上是减函数时，得a≥
e
x
2
．综上，a∈[
e
2
2
，+∞）∪（-∞，[1/2]]．
（3）结论：f（m）+f（n）≥mn+2．当a=[1/2]时，由（2）可得F″（x）=ex-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，F（x）在[0，+∞）上是增函数，得到：f（x）≥[1/2]x2+1．从而f（m）+f（n）≥
m
2
+n
2
2
+2≥mn+2．
（1）由f′（x）=ex-1，得f′（0）=0，又f（0）=1，
故切线方程为：y-1=f′（0）（x-0），即y-1=0．
（2）当F′（x）=ex-2ax-1在[0，2]上是增函数时，
有F″（x）=ex-2a≥0在[0，2]上恒成立，即a≤
ex
2在[0，2]上恒成立，
∴a≤[1/2]．
当F′（x）=ex-2ax-1在[0，2]上是减函数时，
有F″（x）=ex-2a≤0在[0，2]上恒成立，即a≥
ex
2在[0，2]上恒成立，
∴a≥
ex
2．
综上，a∈[
e2
2，+∞）∪（-∞，[1/2]]．
（3）结论：f（m）+f（n）≥mn+2．
当a=[1/2]时，由（2）可得F″（x）=ex-2a≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴F′（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴F′（x）≥F′（0）=0，
∴F（x）在[0，+∞）上是增函数，又F（0）=0，
∴F（x）≥0，得到：f（x）≥[1/2]x2+1．
又m≥0，n≥0，故f（m）≥[1/2]m2+1，f（n）≥[1/2]n2+1，
∴f（m）+f（n）≥
m2+n2
2+2≥mn+2，（当且仅当m=n=0时等号成立）．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考察了函数的单调性，切线的方程，参数的范围，考察导数的应用，是一道综合题．
