解题思路：（1）a=0时，f（x）是奇函数；a≠0时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x2-ax=（x-[a/2]）2-
a
2
4
，函数f（x）图象的对称轴为直线x=[a/2]，利用a的不同取值进行分类讨论，能求出m（a）．
（3）若a=4，则x＞0时，f（x）=
x
2
−4x+
4
x
＝0
，方程可化为[4/x＝−
x
2
+4x．令
g(x)＝
4
x]，h（x）=-x2+4x，在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象，数形结合能证明方程f（x）+[4/x]=0有两个不同的正数解．
（1）∵f（x）=|x|•（x-a）．
∴a=0时，f（x）=|x|x是奇函数；…（2分）
a≠0时，f（x）=|x|•（x-a）既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）
（2）当x∈[0，2]时，f（x）=x2-ax=（x-[a/2]）2-
a2
4，
函数f（x）图象的对称轴为直线x=[a/2]．…（1分）
当[a/2＜0，即a＜0时，函数f（x）在[0，2]上是增函数，
所以m（a）=f（0）=0；（1分）
当0≤
a
2≤2，即0≤a≤4时，函数f（x）在[0，
a
2]]上是减函数，在[[a/2]，2]上是增函数，
所以m（a）=f（[a/2]）=-
a2
4；…（1分）
当[a/2＞2，即a＞4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，
所以m（a）=f（2）=4-2a．…（1分）
综上，m（a）=
0，a＜0
−
a2
4，0≤a≤4
4−2a，a＞4]．…（2分）
（3）证明：若a=4，则x＞0时，f（x）=x2−4x+
4
x＝0，方程可化为x2−4x+
4
x＝0，
即[4/x＝−x2+4x．…（2分）
令g(x)＝
4
x]，h（x）=-x2+4x，
在同一直角坐标系中作出函数g（x），h（x）在x＞0时的图象．…（2分）
因为g（2）=2，h（2）=4，所以h（2）＞g（2），
即当x=2时，
函数h（x）图象上的点在函数g（x）图象点的上方．…（3分）
所以函数g（x）与h（x）的图象在第一象限有两个不同交点．
即方程f（x）+[4/x]=0有两个不同的正数解．…（1分）
点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断；根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数最小值的求法，证明方程有两个不同的正数解．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论法和数形结合思想的灵活运用．
1年前
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