（2011•嘉定区三模）已知a＞1，函数f（x）的 - 已解决

（2011•嘉定区三模）已知a＞1，函数f（x）的图象与函数y=ax-1的图象关于直线y=x对称，g（x）=loga（x

（2011•嘉定区三模）已知a＞1，函数f（x）的图象与函数y=a^x-1的图象关于直线y=x对称，g（x）=log_a（x²-2x+2）．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）若函数f（x）在区间[m，n]（n＞m＞-1）上的值域为

[

log

，

log

]

，求实数p的取值范围；

（3）设函数F（x）=a^{f（x）-g（x）}，若w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

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解题思路：（1）由函数f（x）的图象与函数y=a^x-1的图象关于直线y=x对称，知函数y=f（x）是函数y=a^x-1的反函数，从而可解．

（2）利用f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上是增函数，可得

f(m)＝lo

(m+1)＝lo

，

f(n)＝lo

(n+1)＝lo

，从而可转化为关于x的方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，1）有两个不同的解，故可解．

（3）将w≥F（x）对一切x∈（-1，+∞）恒成立，转化为w≥F（x）_max，从而求函数的最大值即可．

（1）由题意，函数y=f（x）是函数y=a^x-1的反函数，…（2分）

所以f（x）=log_a（x+1）（a＞1，x＞-1）．…（4分）

（2）因为a＞1，所以f（x）=log_a（x+1）在（-1，+∞）上是增函数，所以f(m)＝loga(m+1)＝loga

m，f(n)＝loga(n+1)＝loga

n，…（6分）

即m+1＝

m，n+1＝

n（n＞m＞-1且m≠0，n≠0），…（7分）

即m、n是方程x+1＝

x（x∈（-1，0）∪（0，+∞））的两个不同解．…（8分）

即关于x的方程x²+x-p=0在（-1，0）∪（0，1）有两个不同的解．

所以

△＝1+4p＞0

(−1)2+(−1)−p＞0

−

2＞−1，解得−

4＜p＜0．

（3）F(x)＝aloga(x+1)−loga(x2−2x+2)＝aloga

x+1

x2−2x+2＝

x+1

x2−2x+2，…（12分）

令t=x+1，t＞0，则x=t-1，于是F(x)＝

(t−1)2−2(t−1)+2＝

t2−4t+5=[1

5/t−4]，…（14分）

因为t＞0，所以t+

t−4≥2

点评：

本题考点：函数恒成立问题；反函数．

考点点评：本题以反函数为依托，考查函数的解析式，研究函数的值域及恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力．

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