（2011•潍坊二模）已知函数f（x）=a（x-[1/x]）-2lnx，g（x）=x2．
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解题思路：（I）求函数的导数，若函数f（x）在其定义域上为增函数，则f'（x）≥0恒成立，然后求实数a的取值范围；
（Ⅱ）利用导数的几何意义求函数f（x）与g（x）的共切线，然后证明等式．
（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数为f′(x)＝a+
a
x2−
2
x=
ax2−2x+a
x2．
要使函数f（x）在其定义域上为增函数，f'（x）≥0恒成立，即ax2-2x+a≥0，在（0，+∞）上恒成立．
即a≥
2x
x2+1在（0，+∞）上恒成立．
因为[2x
x2+1＝
2
x+
1/x≤
2
2＝1，当且仅当x=1时取等号，所以a≥1．
（Ⅱ）因为函数的导数为f′(x)＝a+
a
x2−
2
x]=
ax2−2x+a
x2，
g'（x）=2x，令
ax2−2x+a
x2＝2x，
即2x3-ax2+2x-a=0，所以x2（2x-a）+2x-a=0，即（x2+1）（2x-a）=0，
所以2x-a=0，x=[a/2]．
因为f（x）=a（x-[1/x]）-2lnx，
则f(
a
2)＝a(
a
2−
2
a)−2ln
a
2＝
1
2a2−2ln
a
2−2，
对于g（x）=x2．则g(
a
2)＝
a2
4．
因为g(
a
2)＝f(
a
2)，所以[1/2a2−2ln
a
2−2＝
a2
4]，即a
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，综合性较强运算量较大，考查学生的运算能力．
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