(2013•南开区模拟)设函数f(x)=a(x-[1/x])-2lnx,g(x)=[2e/x],(a是实数,e是自然对数
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解题思路:(Ⅰ)求出导数,求出f′(1),写出直线l的方程,联立l和y=g(x)消去y,得到x的方程,讨论a=1,a≠1

由相切的条件:判别式为0,求出a;

(2)求出导数,讨论函数f(x)在它的定义域内是单调增函数,还是减函数,运用分离参数,基本不等式求最值,从而求出a的范围.

(I)由f′(x)=a+

a

x2−

2

x,

则f′(1)=2(a-1),

直线l的方程为:y=2(a-1)(x-1),

y=2(a−1)(x−1)

y=

2e

x,得(a−1)(x−1)=

e

x,

即(a-1)x2-(a-1)x-e=0,

i)当a=1时,方程无解;

ii)当a≠1时,由△=(a-1)2-4(a-1)(-e)=0,得a=1-4e,

综上可得,a=1-4e.

(II)f′(x)=a+

a

x2−

2

x=

ax2−2x+a

x2,

i)若函数f(x)在它的定义域内是单调递增函数,

由f′(x)≥0,对∀x∈(0,+∞),即a≥

2x

1+x2,

而函数y=

2x

1+x2=

2

x+

1

x在x∈(0,+∞)的值域为(0,1],

所以,a≥1.

ii)若函数f(x)在它的定义域内是单调递减函数,

由f′(x)≤0,对∀x∈(0,+∞),即a≤

2x

1+x2,

而函数y=

2x

1+x2在x∈(0,+∞)的值域为(0,1],

所以a≤0.

综上可得,若函数f(x)在它的定义域内是单调函数,

a的取值范围是[1,+∞)∪(-∞,0].

点评:

本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

考点点评: 本题考查导数的综合应用:求切线、求单调性,同时考查参数分离、基本不等式的运用求最值,是一道中档题.