（2013•南开区模拟）设函数f（x）=a（x-[1/x]）-2lnx，g（x）=[2e/x]，（a是实数，e是自然对数
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解题思路：（Ⅰ）求出导数，求出f′（1），写出直线l的方程，联立l和y=g（x）消去y，得到x的方程，讨论a=1，a≠1
由相切的条件：判别式为0，求出a；
（2）求出导数，讨论函数f（x）在它的定义域内是单调增函数，还是减函数，运用分离参数，基本不等式求最值，从而求出a的范围．
（I）由f′(x)＝a+
a
x2−
2
x，
则f′（1）=2（a-1），
直线l的方程为：y=2（a-1）（x-1），
由
y＝2(a−1)(x−1)
y＝
2e
x，得(a−1)(x−1)＝
e
x，
即（a-1）x2-（a-1）x-e=0，
i）当a=1时，方程无解；
ii）当a≠1时，由△=（a-1）2-4（a-1）（-e）=0，得a=1-4e，
综上可得，a=1-4e．
（II）f′(x)＝a+
a
x2−
2
x＝
ax2−2x+a
x2，
i）若函数f（x）在它的定义域内是单调递增函数，
由f′（x）≥0，对∀x∈（0，+∞），即a≥
2x
1+x2，
而函数y＝
2x
1+x2＝
2
x+
1
x在x∈（0，+∞）的值域为（0，1]，
所以，a≥1．
ii）若函数f（x）在它的定义域内是单调递减函数，
由f′（x）≤0，对∀x∈（0，+∞），即a≤
2x
1+x2，
而函数y＝
2x
1+x2在x∈（0，+∞）的值域为（0，1]，
所以a≤0．
综上可得，若函数f（x）在它的定义域内是单调函数，
a的取值范围是[1，+∞）∪（-∞，0]．
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题考查导数的综合应用：求切线、求单调性，同时考查参数分离、基本不等式的运用求最值，是一道中档题．
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