（2011•韶关模拟）设函数f（x）=x|x-1|+m，g（x）=lnx．
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解题思路：（1）化简函数f（x）的解析式，分别在[0，1]和（1，m]上求函数的最大值．
（2）函数有零点即对应方程有解，得到m的解析式m=h（x），通过导数符号确定h（x）=lnx-x|x-1|的单调性，由h（x）的单调性确定h（x）的取值范围，即得m的取值范围．
（1）当x∈[0，1]时，f（x）=x（1-x）+m=−x2+x+m＝−(x−
1
2)2+m+
1
4
∴当x＝
1
2时，f(x)max＝m+
1
4
当x∈（1，m]时，f（x）=x（x-1）+m=x2−x+m＝(x−
1
2)2+m−
1
4
∵函数y=f（x）在（1，m]上单调递增，∴f（x）max=f（m）=m2
由m2≥m+
1
4得：m2−m−
1
4≥0又m＞1⇒m≥
1+
2
2．
∴当m≥
1+
2
2时，f（x）max=m2；
当1＜m＜
1+
2
2时，f(x)max＝m+
1
4．
（2）函数p（x）有零点即方程f（x）-g（x）=x|x-1|-lnx+m=0有解，
即m=lnx-x|x-1|有解
令h（x）=lnx-x|x-1|，当x∈（0，1]时，h（x）=x2-x+lnx
∵h′(x)＝2x+
1
x−1≥2
2−1＞0
∴函数h（x）在（0，1]上是增函数，∴h（x）≤h（1）=0
当x∈（1，+∞）时，h（x）=-x2+x+lnx．
∵h′(x)＝−2x+
点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理．
考点点评： 本题考查用分类讨论的方法求函数最大值，利用导数求函数值域，及化归与转化的思想方法．
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