（2012•武清区一模）已知数列{an}满足对任意的n∈N*，an+1＝2an+2n+2成立，解决下列问题．
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解题思路：（Ⅰ）直接把n=3，2，1代入
a
n+1
＝2
a
n
+
2
n+2
，再借助于a3是2a1、a4的等比中项，即可求出a1的值；
（Ⅱ）先假设存在一个实数λ符合题意，得到 必为与n无关的常数，整理 即可求出实数λ，进而求出数列{an}的通项公式．
（Ⅲ）通过（Ⅱ），求出数列的通项公式，求出数列的前n项和，利用放缩法扩大数列的和，通过无穷数列的求和，证明结果．
（Ⅰ）由an+1＝2an+2n+2，a3是2a1、a4的等比中项，a32=2a1•a4，
a2＝2a1+23，a3＝2a2+24所以a3＝4a1+25同理可得a4＝8a1+3×25，
所以( 4a1+25)2＝2a1( 8a1+3×25)，解得a1=-16．
（Ⅱ）由an+1＝2an+2n+2，可知
an+1
2n+1＝
an
2n+2，所以
an+1
2n+1−
an
2n＝2，
所以数列{
an
2n}是以
a1
21为首项以2为公差的等差数列．
（Ⅲ）若a1=2，数列{
an
2n}的首项为1，公差为2，所以
an
2n＝1+(n−1)×2，
所以an＝(2n−1)2n，
前n项和为Sn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）×2n，①
则2Sn=1×22+3×23+…+（2n-3）×2n+（2n-1）×2n+1，②
①-②得：-Sn=2+2（22+…+2n）-（2n-1）×2n+1=2+
8(1−2n−1)
1−2-（2n-1）×2n+1．
点评：
本题考点： 数学归纳法；等差关系的确定；数列的求和；等比数列的性质；数列与不等式的综合．
考点点评： 本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定．数列求和的方法，错位相减法以及放缩法的应用，考查分析问题解决问题的能力．
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