（2012•枣庄一模）设数列{an}满足a1=1，a2=2，对任意的n∈N*，an+2是an+1与an的等差中项．
1个回答
解题思路：（1）根据an+2是an+1与an的等差中项，可得2an+2=an+1+an，由bn=an+1-an，可得bn+1=an+2-an+1=-[1/2]bn，从而可得数列{bn}是以1为首项，-[1/2]为公比的等比数列，可求通项公式；
（2）利用累加法可得数列{an}的通项公式，进而可得
c
n
＝
3
2
n(
5
3
−
a
n
)
=
n
×(−
1
2
)
n−1
，利用错位相减法可求数列{cn}的前n项和．
（1）∵an+2是an+1与an的等差中项．
∴2an+2=an+1+an，
∵bn=an+1-an，∴bn+1=an+2-an+1=[1/2]（an+1+an）-an+1=-[1/2]bn，
∵a1=1，a2=2，
∴b1=a2-a1=1
∴数列{bn}是以1为首项，-[1/2]为公比的等比数列，通项公式为bn=(−
1
2)n−1；
（2）由（1）知，an+1-an=(−
1
2)n−1
∴an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+1+…+(−
1
2)n−2=
5
3−
2
3×(−
1
2)n−1
∴cn＝
3
2n(
5
3−an)=n×(−
1
2)n−1
∴Sn=1×(−
1
2)1−1+2×(−
1
2)2−1+…+n×(−
1
2)n−1①
∴−
1
2Sn=1×(−
1
2)2−1+2×(−
1
2)3−1+…+n×(−
1
2)n②
①-②可得[3/2]Sn=1+(−
1
2)+(−
1
2)2+…+(−
1
2)
点评：
本题考点： 等差数列与等比数列的综合；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列递推式，考查等比数列的证明与通项，考查错位相减法求数列的和，属于中档题．
相关问题
