解题思路：（1）由an+2=
a
n
(
a
n+1
2
+1)
a
n
2
+1
，可得
a
n+2
a
n+1
−
1
a
n+1
=
a
n+1
a
n
−
1
a
n
=…=
2
1−
1/1
]=1，即可得出an+1与an之间的递推关系；
（2）证明数列{an}是递增数列，an2-an-12=
1
a
n−1
2
-2，即可证明结论；
（3）a20142=
1
a
2013
2
+
1
a
2012
2
+…+
1
a
1
2
-2（2014-1），再进行放缩，即可求出a2014的整数部分．
（1）由an+2=
an(an+12+1)
an2+1，可得
an+2
an+1−
1
an+1=
an+1
an−
1
an，
∴
an+2
an+1−
1
an+1=
an+1
an−
1
an=…=[2
1−
1/1]=1，
∴an+1=an-[1
an；
（2）证明：∵a1=1，an+1=an-
1
an，
∴数列{an}是递增数列，
∴0＜
1
an2≤1，
n≥2时，an2=（an-1-
1
an−1）2=an-12+
1
an−12-2，
∴an2-an-12=
1
an−12-2，
∴2＜an2-an-12≤3；
（3）∵an2=an-12+
1
an−12-2，
∴a20142=
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．
考点点评： 本题考查数列递推式，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，有难度．
1年前
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