已数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=（1+2|cos[nπ/2]|）an+|sin[nπ/2]|，n∈N*．
1个回答
解题思路：（1）令n=2k得a2k+2=3a2k，即可证明数列{a2k}（k∈N*）为等比数列；
（2）
a
2k
＝
3
k
，利用a2k+1=a2k-1+1，即可求数列{an}的通项公式；
（3）放缩，再利用等比数列的求和公式，即可证明结论．
（1）证明：令n=2k得a2k+2=3a2k
又a2=3≠0
∴{a2k}为等比数列（3分）
（2）a2k＝3k
又a2k+1=a2k-1+1=a2k-3+2=…=a1+k=k+1
∴an＝
n+1
2(n为奇数)
3
n
2(n为偶数)（7分）
（3）证明：bn＝
1
3n+(−1)n−1 • (
1
4)n＝
1
3n+
1
4n(n为奇数)
1
3n−
1
4n＜
1
3n(n为偶数)
∴Sn＜
1
31+
1
41+
1
32+
1
点评：
本题考点： 数列的求和；等比数列的性质．
考点点评： 本题考查等比数列的证明，考查数列的求和，考查不等式的证明，确定数列的通项是关键．
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