（2014•嘉定区一模）已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n∈N*）．
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解题思路：（1）由数列递推式把a2，a3用a1表示，然后利用等差中项的概念列式求解首项和公差；
（2）利用反证法，假设数列{an}是等比数列，由
a
2
2
＝
a
1
a
3
列式求解数列的首项，进一步求出前四项，得到的数列不是等比数列，由此得到矛盾；
（3）直接利用等比数列的概念列式求解等比数列{cn}的公比，并求出实数k和b的值，得到数列{cn}的通项公式后求得数列{an}的通项公式．
（1）由已知a2=2a1+2，a3=2a2+3=4a1+7，
若{an}是等差数列，则2a2=a1+a3，即4a1+4=5a1+7，
得a1=-3，a2=-4，故d=-1．
∴数列{an}的首项为-3，公差为-1；
（2）证明：假设数列{an}是等比数列，则有
a22＝a1a3，
即4(a1+1)2＝a1(4a1+7)，
解得a1=-4，从而a2=-6，a3=-9，
又a4=2a3+4=-14．
数列a1，a2，a3，a4不成等比数列，与假设矛盾，
∴数列{an}不是等比数列；
（3）由题意，对任意n∈N*，有
cn+1
cn＝q（q为定值且q≠0），
即
an+1+k(n+1)+b
an+kn+b＝q．
即
2an+n+1+k(n+1)+b
an+kn+b＝
2an+(k+1)n+k+b+1
an+kn+b＝q，
于是，2an+（k+1）n+k+b+1=qan+kqn+qb，
∴
q＝2
k+1＝kq
k+b+1＝qb ⇒
q＝2
k＝1
b＝2.
∴当k=1，b=2时，数列{cn}为等比数列．
此数列的首项为a1+1+2=2，公比为q=2，∴an+n+2＝2n
点评：
本题考点： 数列递推式；等比关系的确定．
考点点评： 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了利用反证法证题，属有一定难度的题目．
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