（2010•上虞市二模）已知函数f(x)＝lnx+1x+ax，其中x＞0，常数a∈R
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解题思路：（1）已知函数
f(x)＝lnx+
1
x
+ax
，求出其导数f（x）′，然后根据f（x）在[1，+∞），上是单调函数，说明函数f（x）在[1，+∞），有f（x）′＞0，从而求解；
（2）由题意根据（1）求出f（x）的单调区间，因为函数f（x）在[1，+∞）有最大值[2/e]，讨论a的范围，确定最值落在哪个区间，从而求出a的值．
（1）∵f(x)＝lnx+
1
x+axf/(x)＝
1
x−
1
x2+a
若f/(x)＝
1
x−
1
x2+a≥0对x∈[1，+∞）恒成立，则a≥
1
x2−
1
x对x∈[1，+∞）恒成立，∴a≥0
若f/(x)＝
1
x−
1
x2+a≤0对x∈[1，+∞）恒成立，则a≤
1
x2−
1
x对x∈[1，+∞）恒成立，∴a≤−
1
4
∴当函数f（x）在[1，+∞）上是单调函数时，
∴所求a的取值范围为：a≥0或a≤−
1
4；
（2）当a≥0时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）在[1，+∞）无最大值．
当a≤−
1
4时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以由f(1)＝
2
e，得a＝
2
e−1＜−
1
4
当−
1
4＜a＜0时，由f/(x)＝
1
x−
1
x2+a＞0得ax2+x-1＞0，则α＜x＜β
（其中α＝
−1+
1+4a
2a＞1，β＝
−1−
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 此题主要考查函数导数与函数单调性之间的关系，要求学生掌握并会熟练运用导数判断函数的单调性，难度比较大．
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