已知函数f(x)＝lnx+1x+ax，x∈(0，+∞)（a为实常数）．
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解题思路：（1）利用导数，确定函数的单调性，从而确定函数f（x）的最小值；
（2）先求导函数，再分别考虑导数大于0与小于0，分类讨论即可．当a≥0时，ax2+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；当a＜0时，令g（x）=ax2+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零
（1）a=0时，f′(x)＝
x−1
x2…..（2分）
当0＜x＜1时f'（x）＜0，
当x＞1时f'（x）＞0，…..（5分）
∴f（x）min=f（1）=1…．（7分）
（2）f′(x)＝
1
x−
1
x2+a＝
ax2+x−1
x2
当a≥0时，ax2+x-1在[2，+∞）上恒大于零，即f'（x）＞0，符合要求；…（10分）
当a＜0时，令g（x）=ax2+x-1，g （x）在[2，+∞）上只能恒小于零
故△=1+4a≤0或
1+4a＞0
g(2)≤0
−
1
2a≤2，解得：a≤−
1
4
∴a的取值范围是(−∞，−
1
4]∪[0，+∞)…（14分）
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题以函数为载体，考查导函数，考查函数的单调性，注意分类讨论．
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