(2010•湖南模拟)已知函数
f(x)=sin(x+
π
6
)+sin(x−
π
6
)+cosx+a
(a∈R,a为常数).
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若f(x)在
[−
π
2
,
π
2
]
上的最大值为1,求a的值.
解题思路:(1)和差化积把原函数进行简化成2sin(x+[π/6])+a,可知函数的最小正周期.
(2)根据正弦函数的单调性,求出函数的最值,进而求出a的值.
(Ⅰ)∵f(x)=
3sinx+cosx+a=2sin(x+
π
6)+a,
∴T=2π.
(Ⅱ)∵x∈[−
π
2,
π
2],
∴x+
π
6∈[−
π
3,
2
3π].
∴sin(x+
π
6)∈[−
3
2,1].
∴f(x)的最大值为2+a.
∴2+a=1,解得a=-1.
点评:
本题考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的图象.
考点点评: 本题主要考查正弦函数的两角和公式.注意熟练掌握和差化积的公式.
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