已知函数 f(x)=lnx+ 1 x +ax ，其中x＞0，常数a∈R
1个回答
（1）∵ f(x)=lnx+
1
x +ax f / (x)=
1
x -
1
x 2 +a
若 f / (x)=
1
x -
1
x 2 +a≥0 对x∈[1，+∞）恒成立，则 a≥
1
x 2 -
1
x 对x∈[1，+∞）恒成立，∴a≥0
若 f / (x)=
1
x -
1
x 2 +a≤0 对x∈[1，+∞）恒成立，则 a≤
1
x 2 -
1
x 对x∈[1，+∞）恒成立，∴ a≤-
1
4
∴当函数f（x）在[1，+∞）上是单调函数时，
∴所求a的取值范围为： a≥0或a≤-
1
4 ；
（2）当a≥0时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）在[1，+∞）无最大值．
当 a≤-
1
4 时，函数f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以由 f(1)=
2
e ，得 a=
2
e -1＜-
1
4
当 -
1
4 ＜a＜0 时，由 f / (x)=
1
x -
1
x 2 +a＞0 得ax 2+x-1＞0，则α＜x＜β
（其中 α=
-1+
1+4a
2a ＞1，β=
-1-
1+4a
2a ＞-
1
2a ＞2 ）
∴函数f（x）在[1，α]上单调递减，在[α，β]上单调递增，在[β，+∞]上单调递减，
由 f(1)=
2
e ，得 a=
2
e -1＜-
1
4 ，不符要求．
由 f(β)=
2
e ，得 lnβ+
1
β +aβ=
2
e ，
又∵ a β 2 +β-1=0，∴aβ=
1
β -1 代入得 lnβ+
2
β -1=
2
e
设函数 h(x)=lnx+
2
x -1-
2
e (x＞2) ，则 h / (x)=
1
x -
2
x 2 =
x-2
x 2 ＞0
所以函数h（x）在（2，+∞）上单调递增，而h（e）=0
∴β=e，所以 a=
1-β
β 2 =
1-e
e 2 ∴ 当a=
2
e -1或a=
1-e
e 2 时，
函数f（x）在[1，+∞）有最大值
2
e ．
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