已知函数f(X)=lnx+(1-x)/ax,其中a为大于零的常数
1个回答

a=1时,f(x)=lnx+(1-x)/x=lnx+1/x-1

f'(x)=1/x-1/x²=(x-1)/x²,当x>1时,f'(x)>0

所以,f(x)=lnx+1/x-1在(1,+∞)上是递增的.

f(1)=0,n/(n-1)>1

所以,f[n/(n-1)]>f(1)

即：f[n/(n-1)]>0

ln[n/(n-1)]+1/[n/(n-1)]-1>0

ln[n/(n-1)]+(n-1)/n-1>0

lnn-ln(n-1)>1/n 该式是很关键的.

因为：lnn-ln(n-1)>1/n

则：ln(n-1)-ln(n-2)>1/(n-1)

ln(n-2)-ln(n-3)>1/(n-2)

.

.

.

ln3-ln2>1/3

ln2-ln1>1/2

叠加得：lnn-ln1>1/2+1/3+1/4+.+1/n

即：lnn>1/2+1/3+1/4+.+1/n

证毕.

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