（2010•绵阳二模）已知函数f（x）=xln x - 已解决

（2010•绵阳二模）已知函数f（x）=xln x（x＞0）．

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解题思路：（1）先对函数求导，研究函数的单调区间，由b≥e结合函数的单调性可得f（b）≥f（e），整理可得

（2）对函数F（x）求导，找出该函数的极值点x=e^-a，讨论e^-a与1的大小，确定F（x）在区间[1，+∞）上的单调性，判断函数F（（x）是否存在最小值

由已知有f'（x）=lnx+1，

令f'（x）=0，即lnx+1=0，解得x=[1/e]．当x∈[

e，+∞)时，f'（x）≥0，即f（x）在[

e，+∞)上是增函数；

当x∈(0，

e)时，f'（x）＜0，即f（x）在(0，

e)上是减函数．（4分）

于是由b≥[1/e]，有f（b）≥f（[1/e]），即blnb≥[1/eln

e]．

整理得lnbbe≥ln

∴bbe≥

e．（6分）

（2）F'（x）=f'（x）+（a-1）=lnx+a，令F'（x）=0，即lnx+a=0，

解得x=e^-a．当e^-a≤1，即a≥0时，F（x）在[1，+∞）上是增函数，

∴F（x）_min=F（1）=a-1；

当e^-a＞1，即a＜0时，F（x）在[1，e^-a]上是减函数，在（e^-a，+∞）上是增函数，

∴F（x）_min=F（e^-a）=e^-alne^-a+（a-1）e^-a=-e^-a．

即F（x）存在最小值，当a≥0时，最小值为a-1，当a＜0时，最小值为-e^-a．（12分）

点评：

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．