如图，长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AB=1，AA 1 =AD=2，点E为AB中点，
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(1)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，

因为AB=1，E为AB的中点，所以，AE=

，

又因为AD=2，

所以S △ADE=

，

又AA 1⊥底面ABCD，AA 1=2，

所以三棱锥A 1-ADE的体积V=S △ADE·AA 1=

。

(2)证明：因为AB⊥平面ADD 1A 1，A 1D

平面ADD 1A 1，

所以AB⊥A 1D，

因为ADD 1A 1为正方形，所以AD 1⊥A 1D，

又AD 1∩AB=A，AD 1

平面ABC 1D 1，AB

平面ABC 1D 1，

所以A 1D⊥平面ABC 1D 1。

(3)证明：设AD 1，A 1D的交点为O，连结OE，

因为ADD 1A 1为正方形，

所以O是AD 1的中点，

在△AD 1B中，OE为中位线，

所以OE∥BD 1，

又OE

平面A 1DE，BD 1

平面A 1DE，

所以BD 1∥平面A 1DE。

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