解题思路：第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）=（1+x）p-（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；
对第（Ⅱ）问，从an+1＞c1 p
着手，由an+1=[p−1/p]an+[c/p]an1-p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将an＞an+1进行转换，设法利用已证结论证明．
证明：（Ⅰ）令f（x）=（1+x）p-（1+px），则f′（x）=p（1+x）p-1-p=p[（1+x）p-1-1]．
①当-1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p-1＞0，∴（1+x）p-1＜（1+x）0=1，
∴（1+x）p-1-1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0]上为减函数，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）p-（1+p×0）=0，即（1+x）p-（1+px）＞0，
∴（1+x）p＞1+px．
②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p-1＞（1+x）0=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）p＞1+px．
综合①、②知，当x＞-1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．
（Ⅱ）先证an+1＞c
1
p．
∵an+1=[p−1/p]an+[c/p]an1-p，∴只需证[p−1/p]an+[c/p]an1-p＞c
1
p，
将[p−1/p]写成p-1个[1/p]相加，上式左边=[1/pan+
1
pan+…+
1
pan+
c
a1−pn
p]≥p
p
ap−1n
pp−1•
c
a1−pn
p
＝c
1
p，
当且仅当
an
p＝
c
a1−pn
p，即an＝c
1
p时，上式取“=”号，
当n=1时，由题设知a1＞c
1
p，∴上式“=”号不成立，
∴
点评：
本题考点： 不等式的证明；数列与不等式的综合；分析法和综合法．
考点点评： 本题是一道压轴题，考查的知识众多，涉及到函数、数列、不等式，利用的方法有分析法与综合法等，综合性很强，难度较大．
