解题思路：（1）先证明必要性：a2∈[0，1]⇒c∈[0，1]，再证明充分性：设c∈[0，1]，对n∈N*用数学归纳法证明an∈[0，1]．
（2）设
0＜c＜
1
3
，当n=1时，a1=0，结论成立．当n≥2时，an=can-13+1-c，1-an=c（1-an-1）（1+an-1+an-12），所以1+an-1+an-12≤3且1-an-1≥0，由此能够导出an≥1-（3c）n-1（n∈N*）．
（3）设
0＜c＜
1
3
，当n=1时，
a
2
1
＝0＞2−
2
1−3c
，结论成立．当n≥2时，an2≥（1-（3c）n-1）2=1-2（3c）n-1+（3c）2（n-1）＞1-2（3c）n-1，所以
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1−
2
1−3c
，n∈
N
*
．
（1）必要性：∵a1=0，∴a2=1-c，
又∵a2∈[0，1]，∴0≤1-c≤1，即c∈[0，1]
充分性：设c∈[0，1]，对n∈N*用数学归纳法证明an∈[0，1]
当n=1时，a1=0∈[0，1]．假设ak∈[0，1]（k≥1）
则ak+1=cak3+1-c≤c+1-c=1，且ak+1=cak3+1-c≥1-c=≥0
∴ak+1∈[0，1]，由数学归纳法知an∈[0，1]对所有n∈N*成立
（2）设0＜c＜
1
3，当n=1时，a1=0，结论成立，
当n≥2时，∵an=can-13+1-c，
∴1-an=c（1-an-1）（1+an-1+an-12）
∵0＜C＜
1
3，由（1）知an-1∈[0，1]，所以1+an-1+an-12≤3且1-an-1≥0
∴1-an≤3c（1-an-1）
∴1-an≤3c（1-an-1）≤（3c）2（1-an-2）≤≤（3c）n-1（1-a1）=（3c）n-1
∴an≥1-（3c）n-1（n∈N*）
（3）设0＜c＜
1
3，当n=1时，
a21＝0＞2−
2
1−3c，结论成立
当n≥2时，由（2）知an≥1-（3c）n-1＞0
∴an2≥（1-（3c）n-1）2=1-2（3c）n-1+（3c）2（n-1）＞1-2（3c）n-1
∴a12+a22+…+an2=a22+…+an2＞n-1-2[3c+（3c）2+…+（3c）n-1]
=n-1-2×
3c[1−(3c)n−1]
1−3c
=n-1-2×
3c−(3c)n
1−3c
=n+1−
2(1−(3c)n)
1−3c＞n+1−
2
1−3c
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合．
考点点评： 本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地选用证明方法．
