定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＜0．
1个回答
（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则F（1）=2f（1）
∴f（1）=0； （5分）
证明：（2）由f（xy）=f（x）+f（y）
可得 f(
y
x )=f(y)-f(x) ，
设x 1＞x 2＞0， f( x 1 )-f( x 2 )=f(
x 1
x 2 ) ，
x 1
x 2 ＞1 ，
∴ f(
x 1
x 2 )＜0 ，即f（x 1）-f（x 2）＜0
∴f（x 1）＜f（x 2），所以f（x）在（0，+∞）上单调递减；（10分）
（3）因为f（k•3 x）-f（9 x-3 x+1）≥f（1），
所以f（k•3 x）≥f（9 x-3 x+1），由（2）得
k• 3 x ≤ 9 x - 3 x +1
k• 3 x ＞0 （*）恒成立，
令t=3 x＞0，则（*）可化为t 2-（k+1）t+1≥0对任意t＞0恒成立，且k＞0，
∴（k+1） 2-4≤0
∴0＜k≤1．（15分）
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