设函数f（x）在定义域D上满足f(12)＝−1，f(x)≠0，且当x，y∈D时，f(x)+f(y)＝f(x+y1+xy)
1个回答
解题思路：在
f(x)+f(y)＝f(
x+y
1+xy
)
，中，令x=y=xn，由数列{xn}中，
x
1
＝
1
2
，
x
n+1
＝
2
x
n
1+
x
2
n
(
x
n
∈D，n∈N*)
，得2f（xn）=f（
2
x
n
1+
x
n
2
）=f（xn+1），所以
f(
x
n+1
)
f(
x
n
)
=2，由
f(
x
1
) ＝f(
1
2
) ＝−1
，能求出f（xn）．
∵函数f（x）在定义域D上满足f(
1
2)＝−1，f(x)≠0，
且当x，y∈D时，f(x)+f(y)＝f(
x+y
1+xy)，
数列{xn}中，x1＝
1
2，xn+1＝
2xn
1+
x2n(xn∈D，n∈N*)，
∴2f（xn）=f（
2xn
1+xn2）=f（xn+1），
∴
f(xn+1)
f(xn)=2，
∵f(x1) ＝f(
1
2) ＝−1，
∴f（xn）=-2n-1．
故答案为：f（xn）=-2n-1．
点评：
本题考点： 数列与函数的综合．
考点点评： 本题首先考查等差数列、等比数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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