如图,BC是半圆O的直径,点G是半圆上任意一点,点A为
BG
的中点,AD⊥BC于D且交BG于E,AC与BG交于点F.求证:BE=AE=EF.
解题思路:连接AB,由圆周角定理知:AB⊥AC,在Rt△ABC中,AD⊥BC,易证∠BAD=∠C,根据点A为
BG
的中点可知
AB
=
AG
,可得∠ABE=∠C,所以∠ABE=∠BAD,即AE=BE;再根据∠C=∠ABF,可得Rt△ABF∽Rt△ACB,故AF:BF=AB:BC,即AF•BC=AB•BF,再根据∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°,∠BAD=∠ABE,可得出∠EAF=∠AFB,由此可得出结论.
证明:连接AB.
∵BC为⊙O的直径,
∴AB⊥AC.
又∵AD⊥BC,
∵∠BAD+∠DAC=90°,∠C+∠DAC=90°,
∴∠BAD=∠C.
∵点A为
BG的中点,
∴
AB=
AG,
∴∠ABE=∠C,
∴∠ABE=∠BAD,
∴AE=BE.
∵∠C=∠ABF,
∴Rt△ABF∽Rt△ACB,
∴AF:BF=AB:BC,即AF•BC=AB•BF,
∵∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°,∠BAD=∠ABE,
∴∠EAF=∠AFB,
∴AE=EF=BE.
点评:
本题考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系.
考点点评: 本题考查的是圆周角定理,涉及到等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识,综合性较强.
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