如图,BC是半圆O的直径,点G是半圆上任意一点,点A为BG的中点,AD⊥BC于D且交BG于E,AC与BG交于点F.求证:
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解题思路:连接AB,由圆周角定理知:AB⊥AC,在Rt△ABC中,AD⊥BC,易证∠BAD=∠C,根据点A为

BG

的中点可知

AB

=

AG

,可得∠ABE=∠C,所以∠ABE=∠BAD,即AE=BE;再根据∠C=∠ABF,可得Rt△ABF∽Rt△ACB,故AF:BF=AB:BC,即AF•BC=AB•BF,再根据∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°,∠BAD=∠ABE,可得出∠EAF=∠AFB,由此可得出结论.

证明:连接AB.

∵BC为⊙O的直径,

∴AB⊥AC.

又∵AD⊥BC,

∵∠BAD+∠DAC=90°,∠C+∠DAC=90°,

∴∠BAD=∠C.

∵点A为

BG的中点,

AB=

AG,

∴∠ABE=∠C,

∴∠ABE=∠BAD,

∴AE=BE.

∵∠C=∠ABF,

∴Rt△ABF∽Rt△ACB,

∴AF:BF=AB:BC,即AF•BC=AB•BF,

∵∠EAF+∠BAD=∠AFB+∠ABF=90°,∠BAD=∠ABE,

∴∠EAF=∠AFB,

∴AE=EF=BE.

点评:

本题考点: 圆周角定理;圆心角、弧、弦的关系.

考点点评: 本题考查的是圆周角定理,涉及到等腰三角形的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识,综合性较强.

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