已知数列﹛an﹜满足an+1=an+2×3n+1,a₁=3,求数列﹛an﹜的通项公式.
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注:
(1)记a(n)是数列的第n项;
(2)原题式子为a(n+1)=a(n)+2*(3n+1).(因为去掉括号的写法2*3n而不是6n无法理解)
设b(n)=a(n+1)-a(n),
因为对于任意n>=1,总有a(n+1)=a(n)+2*(3n+1);
所以对于任意n>=1,b(n)=2*(3n+1)=6n+2;
所以数列{b(n)}是初项为8,项差为6的等差数列;
所以Sb(n)=((8+(8+(n-1)*6))*n)/2=n*(3n+5);
又因为Sb(n)=b(n)+b(n-1)+...b(1)=(a(n+1)-a(n))+(a(n)-a(n-1))+...+(a(2)-a(1))=a(n+1)-a(1);
所以a(n+1)-a(1)=n*(3n+5);
又因为a(1)=3;
所以a(n+1)=a(1)+n*(3n+5)=3+n*(3n+5)=3n^2+5n+3=3(n+1)^2-(n+1)+1;
所以对于任意n,n>=2,有a(n)=3n^2-n+1;
且当n=1时,3n^2-n+1=3=a(n);
所以数列{a(n)}的通项公式为3n^2-n+1;
答:数列{a(n)}的通项公式为3n^2-n+1.
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