解题思路：（I）设切点P的坐标，根据双曲线E的渐近线与抛物线C相切，及P在抛物线C：y=x2+1上，即可求点P的坐标及双曲线E的离心率；
（II）利用点到直线的距离公式，求得△PAB的高，表示出△PAB的面积，根据直线l2与抛物线C至多有一个交点，确定a的范围，即可求△PAB面积的最大值．
（I）设切点P的坐标为(x0，
x20+1)，则切线的斜率为(x2+1)′|x＝x0＝2x0…（1分）
因为双曲线E的渐近线y＝
b
ax与抛物线C相切，所以2x0＝
b
a①
又因为
x20+1＝
b
ax0②
由①、②消去x0得：(
b
2a)2+1＝
b2
2a2，即b2=4a2，…（3分）
又c2=a2+b2，所以c2-a2=4a2，c2=5a2，
即e2＝
c2
a2＝5，e＝
5．…（4分）
由①、②还可得
x20+1＝2
x20，即x0=±1，
又P在第一象限，从而切点P的坐标为（1，2）…%分
（II）由（I）得l1的方程为y=2x，点F的坐标为(
5a，0)，双曲线E的方程为4x2-y2=4a2．
因为l1⊥l2，所以l2的方程为y＝−
1
2(x−
5a)．
由
y＝−
1
2(x−
5a)
4x2−y2＝4a2消去y得：15x2+2
5ax−21a2＝0．
从而xA+xB＝−
2
5
15a，xAxB＝−
7
5a2．
故|AB|＝
1+(−
1
2)2•
(xA+xB)2−4xAxB=
5
4•
(−
2
5
15a)2+
28
5a2=[8/3a．…（7分）
由点到直线的距离公式得△PAB的高h＝|a−
5|．…（8分）
又因为直线l2与抛物线C至多有一个交点，
由方程组
y＝x2+1
y＝−
1
2(x−
5a)]消去y得2x2+x+2−
5a＝0，故△＝12−4×2×(2−
5a)≤0，
即0＜a≤
3
5
8…（9分）
所以△PAB的面积S＝
4
3a|a−
5|＝
4
3a(
5−a)，(0＜a≤
3
5
8)．
S＝−
4
3(a2−
5a)=−
4
3[(a−
5
2)2−
5
4]≤−
4
3[(
3
5
8−
5
2)2−
5
4]＝
25
16．…（11分）
∴当a=
3
5
8时，Smax＝
25
16．…（12分）
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．
考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查双曲线的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
