已知如图，对称轴为直线x=4的抛物线y=ax 2 +2x与x轴相交于点B、O．

已知如图，对称轴为直线x=4的抛物线y=ax 2+2x与x轴相交于点B、O．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接AB，平移AB所在的直线，使其经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标．

（3）当△PAB的周长最小时，在直线AB的上方是否存在一点Q，使以A，B，Q为顶点的三角形与△POB相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（规定：点Q的对应顶点不为点O）

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（1）∵对称轴为直线x=-

2

2a =4，

∴a=-

1

4 ，

∴抛物线解析式为y=-

1

4 x 2+2x；

（2）∵y=-

1

4 x 2+2x=-

1

4 （x 2-8x+16）+4=-

1

4 （x-4） 2+4，

∴顶点坐标为A（4，4），

令y=0，则-

1

4 x 2+2x=0，

解得x 1=0，x 2=8，

∴点B的坐标为（8，0），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

则

4k+b=4

8k+b=0 ，

解得

k=-1

b=8 ，

所以，直线AB的解析式为y=-x+8，

∵直线l为直线AB平移至经过原点的直线，

∴直线l的解析式为y=-x，

如图，取点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，则△PAB的周长最小，

此时，点A（-4，-4），

点P为线段A′B的中点，

∵

-4+8

2 =2，

-4+0

2 =-2，

∴点P的坐标为（2，-2）；

（3）∵直线AB的解析式为y=-x+8，

∴直线AB与x轴、对称轴的夹角的锐角为45°，

又∵l ∥ AB，

∴∠POB=45°，

根据勾股定理，AB=

4 2 +(8-4) 2 =4

2 ，

PO=

2 2 +2 2 =2

2 ，

①∠BAQ=∠POB=45°时，∵△POB ∽ △BAQ，

∴

PO

AB =

OB

AQ ，

即

2

2

4

2 =

8

AQ ，

解得AQ=16，

∴Q的横坐标为16+4=20，纵坐标为4，

∴点Q的坐标为（20，4）；

②∠ABQ=∠POB=45°时，∵△POB ∽ △ABQ，

∴

PO

AB =

OB

BQ ，

即

2

2

4

2 =

8

BQ ，

解得BQ=16，

∴点Q的坐标为（8，16），

综上所述，存在点Q（20，4）或（8，16）使以A，B，Q为顶点的三角形与△POB相似．

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