如图，已知抛物线y=x 2 +bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

如图，已知抛物线y=x 2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为______．

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1个回答

（1）如图，∵AB=2，对称轴为直线x=2．

∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．

∵抛物线y=x 2+bx+c与x轴交于点A，B，

∴1、3是关于x的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根．

由韦达定理，得

1+3=-b，1×3=c，

∴b=-4，c=3，

∴抛物线的函数表达式为y=x 2-4x+3；

（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．

由（1）知抛物线的函数表达式为y=x 2-4x+3，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3），

∴BC=

3 2 + 3 2 =3

2 ，AC=

3 2 + 1 2 =

10 ．

∵点A、B关于对称轴x=2对称，

∴PA=PB，

∴PA+PC=PB+PC．

此时，PB+PC=BC．

∴点P在对称轴上运动时，（PA+PC）的最小值等于BC．

∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3

2 +

10 ；

（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x 2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1），

当E、D点在x轴的上方，即DE ∥ AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意，

故点D的坐标为：（2，-1）．

故答案是：（2，-1）．

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