（2012•黔南州）如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O．

（2012•黔南州）如图所示，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，O．

（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A的坐标；

（2）连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上一动点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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解题思路：（1）根据抛物线的对称轴方程即可确定a的值，由此可得到抛物线的解析式，通过配方可求出顶点A的坐标；

（2）根据A、B的坐标，易求得直线AB的解析式，进而可确定直线l的解析式，即可表示出P点的坐标；由于P点的位置不确定，因此本题要分成两种情况考虑：

①P点位于第四象限，此时t＞0，四边形AOPB的面积可由△OAB和△OBP的面积和求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据S的取值范围即可判断出t的取值范围；

②P点位于第二象限，此时t＜0，可分别过A、P作x轴的垂线，设垂足为N、M；那么四边形AOPB的面积即可由梯形APMN与△ABN的面积和再减去△OPM的面积求得，由此可得到关于S、t的函数关系式，可参照①的方法求出t的取值范围；

结合上面两种情况即可得到符合条件的t的取值范围；

（3）根据（2）的结论，可求出t的最大值，由此可得到P点的坐标；若△OPQ为直角三角形且OP为直角边，那么有两种情况需要考虑：①∠QOP=90°，②∠OPQ=90°；

可分别过Q、O作直线l的垂线m、n，由于互相垂直的两直线斜率的乘积为-1，根据直线l的解析式以及Q、O的坐标，即可求出直线m、n的解析式，联立抛物线的解析式即可求出Q点的坐标．

（1）∵点B与O（0，0）关于x=3对称，

∴点B坐标为（6，0）．

将点B坐标代入y=ax2+2x得：

36a+12=0；

∴a=−

1

3．

∴抛物线解析式为y＝−

1

3x2+2x．（2分）

当x=3时，y＝−

1

3×32+2×3＝3；

∴顶点A坐标为（3，3）．（3分）

（说明：可用对称轴为x＝−

b

2a，求a值，用顶点式求顶点A坐标）

（2）设直线AB解析式为y=kx+b．

∵A（3，3），B（6，0），

∴

6k+b＝0

3k+b＝3

解得

k＝−1

b＝6，

∴y=-x+6．

∵直线l∥AB且过点O，

∴直线l解析式为y=-x．

∵点P是l上一动点且横坐标为t，

∴点P坐标为（t，-t）．（4分）

当P在第四象限时（t＞0），

S=S△AOB+S△OBP

=[1/2]×6×3+[1/2]×6×|-t|

=9+3t．

∵0＜S≤18，

∴0＜9+3t≤18，

∴-3＜t≤3．

又∵t＞0，

∴0＜t≤3．（5分）

当P在第二象限时（t＜0），

作PM⊥x轴于M，设对称轴与x轴交点为N，

则S=S梯形ANMP+S△ANB-S△PMO

=

1

2[3+(−t)]•(3−t)+

1

2×3×3−

1

2(−t)(−t)

=

1

2(t−3)2+

9

2−

1

2t2

=-3t+9；

∵0＜S≤18，

∴0＜-3t+9≤18，

∴-3≤t＜3；

又∵t＜0，

∴-3≤t＜0；（6分）

∴t

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题主要考查了一次函数、二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大．

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