如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x

如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P的坐标；

（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．

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1个回答

解题思路：（1）根据抛物线的交点式可求此抛物线的解析式；

（2）直线BC与对称轴直线l：x=-1的交点即为所求使△PAC的周长最小的点P的坐标；

（3）讨论：当以AB为对角线，利用NA=MB和四边形ANBM为平行四边形，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到MN=AB=4，则可确定M的横坐标，然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标．

（1）直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，

当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，

则A点坐标为（1，0）；

当x=0时，y=3，

则C点坐标为（0，3）；

抛物线的对称轴为直线x=-1，

则B点坐标为（-3，0）；

把C（0，3）代入y=a（x-1）（x+3）得3=-3a，

解得a=-1，

则此抛物线的解析式为y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3；

（2）点A关于直线l的对称点是点B（-3，0）

如图1，连接BC，交对称轴于点P，则此时△PAC周长最小，

设直线BC的关系式为：y=mx+n，

把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得

−3m+n＝0

n＝3，

解得

m＝1

n＝3，

∴直线bC的关系式为y=x+3，

当x=-1时，y=-1+3=2，

∴P点坐标为（-1，2）；

（3）①当以AB为对角线，如图2，

∵四边形AMBN为平行四边形，

A点横坐标为1，N点横坐标为0，B点横坐标为-3，

∴M点横坐标为-2，

∴M点纵坐标为y=-4+4+3=3，

∴M点坐标为（-2，3）；

②当以AB为边时，如图3，

∵四边形ABMN为平行四边形，

∴MN=AB=4，即M1N1=4，M2N2=4，

∴M1的横坐标为-4，M2的横坐标为4，

对于y=-x2-2x+3，

当x=-4时，y=-16+8+3=-5；

当x=4时，y=-16-8+3=-21，

∴M点坐标为（-4，-5）或（4，-21）．

综上所述，M点坐标为（-2，3）或（-4，-5）或（4，-21）．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了二次函数综合题：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，其顶点式为y=a（x-[b/2a]）2+4ac−b24a，抛物线的对称轴为x=-[b/2a]，当a＞0，y最小值=4ac−b24a；当a＜0，y最大值=4ac−b24a；抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式；对于特殊四边形的判定与性质要熟练运用．

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