如图,已知直线y=-3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C,对称轴为直线l:x=-1,该抛物线与x轴的另一个交点为B.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P在直线l上,求出使△PAC的周长最小的点P的坐标;
(3)点M在此抛物线上,点N在y轴上,以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,直接写出所有满足要求的点M的坐标;若不能,请说明理由.
解题思路:(1)根据抛物线的交点式可求此抛物线的解析式;
(2)直线BC与对称轴直线l:x=-1的交点即为所求使△PAC的周长最小的点P的坐标;
(3)讨论:当以AB为对角线,利用NA=MB和四边形ANBM为平行四边形,则可确定M的横坐标,然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标;当以AB为边时,根据平行四边形的性质得到MN=AB=4,则可确定M的横坐标,然后代入抛物线解析式得到M点的纵坐标.
(1)直线y=-3x+3与x轴交于点A,与y轴交于点C,
当y=0时,-3x+3=0,解得x=1,
则A点坐标为(1,0);
当x=0时,y=3,
则C点坐标为(0,3);
抛物线的对称轴为直线x=-1,
则B点坐标为(-3,0);
把C(0,3)代入y=a(x-1)(x+3)得3=-3a,
解得a=-1,
则此抛物线的解析式为y=-(x-1)(x+3)=-x2-2x+3;
(2)点A关于直线l的对称点是点B(-3,0)
如图1,连接BC,交对称轴于点P,则此时△PAC周长最小,
设直线BC的关系式为:y=mx+n,
把B(-3,0),C(0,3)代入y=mx+n得
−3m+n=0
n=3,
解得
m=1
n=3,
∴直线bC的关系式为y=x+3,
当x=-1时,y=-1+3=2,
∴P点坐标为(-1,2);
(3)①当以AB为对角线,如图2,
∵四边形AMBN为平行四边形,
A点横坐标为1,N点横坐标为0,B点横坐标为-3,
∴M点横坐标为-2,
∴M点纵坐标为y=-4+4+3=3,
∴M点坐标为(-2,3);
②当以AB为边时,如图3,
∵四边形ABMN为平行四边形,
∴MN=AB=4,即M1N1=4,M2N2=4,
∴M1的横坐标为-4,M2的横坐标为4,
对于y=-x2-2x+3,
当x=-4时,y=-16+8+3=-5;
当x=4时,y=-16-8+3=-21,
∴M点坐标为(-4,-5)或(4,-21).
综上所述,M点坐标为(-2,3)或(-4,-5)或(4,-21).
点评:
本题考点: 二次函数综合题.
考点点评: 本题考查了二次函数综合题:二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的图象为抛物线,其顶点式为y=a(x-[b/2a])2+4ac−b24a,抛物线的对称轴为x=-[b/2a],当a>0,y最小值=4ac−b24a;当a<0,y最大值=4ac−b24a;抛物线上的点的横纵坐标满足抛物线的解析式;对于特殊四边形的判定与性质要熟练运用.
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